2-2 信道特性奈奎斯特香农定理

本节重点在于2个公式，即香农定理和奈奎斯特定理

数据通信的基本概念(考查较少)

通信的目的就是传递信息。

通信中产生和发送信息的一端叫信源，接收信息的一端叫信宿，信源和信宿之间的通信线路称为信道。

通信系统模型，如下图2-1所示

其中，信源可以产生模拟信号或数字信号，信道分为模拟信道和数字信道，噪声即信号传输过程中的干扰

信道特性

信道带宽W(常考)

数字信道带宽：数字信道是离散信道，带宽为信道能够达到的最大传输速率，单位是bit/s

模拟信道带宽：模拟信道的带宽为信道能通过的最高频率与最低频率之差，即
$$
W = f_2 - f_1
$$
(f2/f1分别表示信道能通过的最高/最低频率，单位是赫兹Hz)

码元和码元速率

引述——关于码元

定义：在使用时间域的波形表示数字信号时，代表不同离散数值的基本波形称为码元。

简单来说，码元就是构成信号的一段波形。

例如，这是一个调频信号，绿色这一段波形是构成该信号的一个基本波形，我们可称其为码元。它可以表示比特0，当然也可以表示比特1；蓝色这一段波形是构成该信号的另一个基本波形，也称为码元，它可以表示比特一，可见该信号由两种码元构成。

数据传输速率(比特率)：指每秒钟能够传输的二进制数据位数，单位为比特/秒(bit/s、b/s、bps)，比特率反映了数据传输的真实速度
码元：一个数字脉冲称为一个码元(可以理解为一个时钟周期的信号称为一个码元)
码元宽度(T)：一个码元的时钟周期(T)称为码元宽度 [频率的单位Hz意为次/秒，周期的单位即为秒/次]
码元速率(B)：单位时间内信道传送码元的个数。如码元宽度为T，则码元速率(也称波特率)，**其单位是波特Baud即 (个码元/s) **，类似频率的概念

$$
B = \frac{1}{T}
$$

一个码元(一个包裹)携带的信息量n(位)与码元种类数(N)的关系是，码元种类数取决于调制技术

$$
n = log_2N
$$

如下表所示，能够说明码元种类数与携带信息量的关系

码元种类数(N)	码元种类详细	携带信息量(每个码元能携带几位数据)(n)
2	0、1共计2类码元	1(即每个码元携带1位信息)
4	00、01、10、11共计4类码元	2(即每个码元携带2位信息)
8	000、001、010、011、100、101、110、111共计8类码元	3(即每个码元携带3位信息)

数据速率和码元速率关系(比特率和波特率的关系)：数据速率 = 码元速率 * 每个码元携带的信息量 = B * n 即
$$
R = B * n = B * log_2N
$$

对于码元的理解：

一个码元就是一个脉冲信号，一个脉冲信号有可能携带1bit数据，也有可能携带2bit数据、4bit数据！你发送一个脉冲信号，如果就可以携带4bit数据，肯定发送速率更快啊！

那么怎么实现一个脉冲信号就能携带多个bit数据呢？就需要一定的技术了，比如设置模拟信号中信号的频率、相位、振幅啥的。举个例子：把振幅分成四种，低（00）、中（01）、高（10）、很高（11），这样我发一个脉冲信号，它的振幅是低，那就说明发送的是00（也就是2bit），它的振幅是中（01），发送的就是01（也就是2bit）……也就实现了一个脉冲信号，携带2bit的功能…（举个不恰当的例子让大家理解而已，明白啥意思就行）

再说一次，一个码元就是一个脉冲信号！波特率指的就是1秒能发送多少个码元，也就是1秒能发送多少个脉冲信号！

一个码元能携带1bit数据，那么比特率 = 波特率！

一个码元能携带2bit数据，那么比特率 = 2倍的波特率！

一个码元能携4bit数据，那么比特率 = 4倍的波特率！

作者：遥遥

链接：https://www.zhihu.com/question/280404107/answer/964379530

奈奎斯特定理和香农定理(高频考点、背住公式)

奈奎斯特定理

奈奎斯特定理描述了没有噪声下最大码元速率与信道带宽之间关系

奈奎斯特定理：在一个理想的(没有噪声环境)的信道中，若信道带宽为W，则最大码元速率为

$$
B_{max }= 2W
$$

其单位仍为波特 (Baud)

根据上面公式，容易得出理想信道极限数据速率公式为：

$$
R_{max} =B_{max} * n = B_{max} * log_2N = 2 Wlog_2N
$$

理解：每秒传输数据总量 = (码元速率 * 每个码元携带信息量) = 每秒发送码元个数(B) * 每个码元携带的信息量位数(n)
理解：每秒包裹总重量 = 每秒发送包裹个数 * 每个包裹重量

香农定理

香农定理描述了噪声信道极限速率和信道带宽之间关系

香农定理：在一个噪声信道的极限数据速率和带宽之间的关系

极限数据速率公式为：
$$
C = W log_2(1+\frac{S}{N})
$$
其中C为噪声信道的极限数据速率，单位为bit/s；W为信道带宽，S/N为信噪比，S为信号平均功率，N为噪声平均功率
香农定理公式中，S/N为信噪比(信噪比S/N是一个参数，一般不会分别给出)，一般需要根据分贝dB来求信噪比S/N，我们有分贝与信噪比的关系为

$$
dB = 10 log_{10}\frac{S}{N} = 10 lg \frac{S}{N}
$$

那么容易得出信噪比与分贝的关系为

$$
\frac{S}{N} =10^ {\frac{dB}{10}}
$$

定义：如果ax=N(a>0,且a≠1)，则x叫做以a为底N的对数,记做x=logaN，其中a要写于log右下。其中a叫做对数的底，N叫做真数。

例题1

例题：若一个信道，带宽为20Mb/s，信噪比为1，则极限速率为多少？

解答：极限速率根据香农定理：C = W log₂(1+S/N) = 20Mb/s * log₂(1+1) = 20Mb/s

例题2

例题：若一个信道，带宽为20Mb/s，信噪比为30dB，则信噪比S/N为多少？极限速率为多少？

解答：

根据分贝与信噪比的关系为：dB = 10 log₁₀S/N

则30 =10 log₁₀S/N 故 S/N = 10³ = 1000(这是求真数部分)，即信噪比为1000

根据极限速率公式

C = W log₂(1+S/N) = 20Mb/s * log₂(1+1000) = 20Mb/s * log₂(1001) ≈ 20Mb/s * log₂(1024) = 20 * 10 = 200Mb/s

带宽/码元速率/数据速率的关系梳理

注意：调制技术影响码元种类数N，如

4ASK即是说N = 4
2PSK即是说N = 2

误码率

定义：误码率表示传输出错的码元数占传输总码元数的比例，误码率越小，通信可靠性越高。误码率是衡量数据通信系统在正常工作情况下传输可靠性的指标。
$$
P_e=\frac{N_e}{N}
$$

其中N_e表示出错数，N表示传送总数

计算机通信网络中，误码率一般要求低于10^-6，即平均每传输一百万位才允许错一位

例题

例题1

解析：

QPSK调制，可知其码元种类数N=4
已知信道频率范围，可知其信道带宽W=6Mhz
未提及噪声问题，根据奈奎斯特定理可得理想信道极限速率为R=2Wlog₂N=12 x 2 =24Mbit/s

例题2

解析：

码元速率即波特率B = 1000Baud
未提及噪声问题，则最大数据速率意指理想信道极限数据速率R_max=B*n=2000bit/s，可得每个码元携带信息位数n=2
根据码元种类数于每个码元携带信息位数之间关系可知，N=2²=4，只有QPSK符合N=4

例题3

解析：

4幅度8相位调制最大可以组成32种码元，即N=32
码元速率B=1/码元宽度=1/10us=10⁵Baud，即B=10⁵Baud(注意这里是码元速率B，不是信道带宽W)
数据速率R=2Wlog₂N=10⁵x5=500kbit/s

例题4

解析：

电话信道为模拟信道：$W = f_2-f_1 = 4kHz$
已知信噪比，根据香农定理可求得噪声信道极限数据速率为C=W*log₂ (1+S/N)=30
求几个信号状态即求码元种类数N，至少需要的信号状态(边界条件)即假设为理想信道没有噪声
即令极限数据速率R = C即R = 2W * log₂N = 40kb/s解得N = 32

例题5

解析：

在异步传输当中，数据传输是以字符为单位。根据题设条件，每个字符包含“1位起始位，7位数据位，2位停止位，1位校验位”即每个字符含11bit，每秒传输200个字符即数据速率为2200bit/s
有效数据位占7/11，故有效速率为7/11*2.2kb/s=1.4kb/s
记住特殊情况不带公式：曼彻斯特编码/差分码彻斯特编码中，码元速率（波特率）等于数据速率的2倍：2*2.2k=4.4kBaud=4400Baud

例题6

解析：

题设中在调制方式名称前给出的数字16、64即指N= 16、64
BPSK的N = 2；QPSK的N = 4

例题7

解析：

码元速率（即波特率）为10000码元/秒，即B = 10000Baud
采用振幅调制将码元的振幅划分为64个不同等级，即N = 64
不涉及噪声，即求理想信道的极限数据速率R = Blog₂N = 10000 x 6 = 60000 bit/s

2-2 信道特性 奈奎斯特 香农定理