信道的极限容量

信号在传输过程中会受到各种因素的影响，如图所示，这是一个数字信号，当它通过实际的信道后，波形会产生失真。当失真不严重时，在输出端还可根据已失真的波形还原出发送的马元。但当失真严重时，在输出端就很难判断这个信号在什么时候是一和，在什么时候是0。

信号波形失去了马元之间的清晰界限，这种现象叫做马间串扰。产生失真的原因主要有马元传输速率、信号传输距离造成干扰、传输媒体质量等。早在 1924 年，奈奎斯特就推导出了著名的耐试准则，他给出了在假定的理想条件下，为了避免马间串扰，马元传输速率的上限，理想低通信道的最高马源传输速率等于 2W 波特，理想代通信道的最高马云传输速率等于 w 波特。这里的 w 是信道带宽，单位为赫兹单词 ball 的意思是波特，也就是马元每秒。因此，上述公式可进一步写为 2W 马元每秒和 w 马元每秒。

满员传输速率又称为波特律调制速率、波形速率或符号速率，它与比特律有一定的关系。当一个马元只携带一比特的信息量时，波特率也就是单位为马元每秒与比特率也就是单位为比特每秒在数值上是相等的。当一个马元携带比特的信息量时，则波特律转换成比特律时，数值要乘以n。要提高信息的传输速率，就必须设法使每一个马元能够携带更多个比特的信息量，这需要采用多元制。

还记得我们上节课中介绍的调幅、调频以及调相这三种基本调制方法吗？它们属于二盐调制，只能产生两种不同的马源，也就是两种不同的基本波形，因此每个马元只能携带一比特的信息量。而混合调制属于多元调制。例如 QM 16 可以调制出 16 种不同的码源，因此每个码源可以携带斯比特的信息量。

需要说明的是，实际的信道所能传输的最高马云速率要明显低于耐氏准则给出的这个上限值，这是因为耐氏准则是在假定的理想条件下推导出来的，他不考虑其他因素，例如传输距离、噪声干扰、传输媒体质量等。仅从公式来看，只要采用更好的调制方法，让马元可以携带更多的比特，岂不是可以无限制的提高信息的传入速率吗？答案是否定的。

信道的极限信息传输速率还要受限于实际的信号在信道中传输时的信噪比，因为信道中的噪声也会影响接收端对马云的识别，并且噪声功率相对信号功率越大影响就越大。 1948 年，香农用信息论的理论推导出了带宽受限且有高斯白噪声干扰的信道的极限信息传输速率，具体公式如下所示，其中 c 是信道的极限信息传输速率，单位是比特每秒， w 是信道带宽，单位为赫兹。 s 是信道内所传送信号的平均功率。 n 是信道内的高斯噪声功率。 s 比 n 是信噪比。使用分贝作为度量单位，如下所示。

从相同公式可以看出，信道带宽或信道中信噪比越大，信息的极限传入速率就越大。需要说明的是，在实际信道上能够达到的信息传输速率要比该公式的极限传输速率低不少。这是因为在实际信道中，信号还要受到其他一些损伤，例如各种脉冲干扰、信号在传输中的衰减和失真等。这些因素在相同公式中并未考虑。综合来看，耐氏准则和相同公式在信道带宽一定的情况下，要想提高信息的传输速率就必须采用多元质，并努力提高信噪中的信噪比。自从相同公式发表以后，各种新的信号处理和调制方法就不断出现，其目的都是为了尽可能的接近相同公式所给出的传输速率极限。接下来我们来做几个与这两个公式有关的练习题。这是计算机专业考研全国统考计算机网络部分 2014 年的题，35。请大家暂停播放视频思考一下，给出你的答案。答案是选项d，大家都选对了吗？从相同公式可知，信噪比和频率带宽都会影响信道数据传输速率。从耐试准则可知，调制速度，也就是马源传入速度和马源所携带的比特数量都会影响信道数据传输速率，而信号的传播速度不影响数据传输速率。我们在之前的课程中曾建议同学们记住电磁波在不同传输媒体的传播速率，不知大家是否还记得？来看 2009 年的 T 34，在无噪声的情况下，若某通信链路带宽为三千赫兹，采用四个相位，每个相位具有四种振幅的 QM 调制技术，则该通信链路的最大数据传入速率是多少？我们一起来做这道题。

一、根据耐氏准则可知，该通信链路的最高马云传输速率等于 2 乘以3K，等于 6K 波特，也就是 6K 马元每秒。二、采用四个相位，每个相位四种振幅的 QM 调制技术，可以调制出 16 个不同的基本波形，也就是 16 个不同的马元。采用二进制对这 16 个不同的码源进行编码，需要使用 4 个比特，换句话说，每个码源可以携带的信息量为 4 比特。综合一和 2 可知，该通信链路的最大数据传输速率等于 6K 码元每秒乘以 4 比特，每码元等于 24K 比特每秒，也就是 24 K B P S。

因此，本题的正确答案是选项b。实际上，对于这种类型的题目，不管题目给出的调制技术多么牛，或者对于我们而言多么陌生，这都不会影响我们解题，我们只需关心这种调制技术可以调制出多少个不同的基本波形即可。来看 2011 年的 T 34，请大家暂停播放视频，思考一下，给出你的答案。

答案是选项b，大家都选对了吗？我们来看解题过程。一、采用四相位调制，可以调制出四种相位不同的基本波形。采用二进制，对这四种不同的波形进行编码，需要使用两个比特，换句话说，每个马元可以携带的信息量为两个比特。二、数据传输速率等于波特律，也就是马元传输速率乘以每个马元所携带的信息量带入本题的相关数值，也就是 2400 比特每秒，等于波特律乘以 2 比特，每马元解得波特率等于 1200 马元每秒，也就是 1200 波特。再来看 2016 年的 T 34，若连接 R2 和 R3 链路的频率带宽为八千赫兹，信噪比为 30 分贝，该链路实际数据传输速率约为理论最大数据传输速率的50%，则该链路的实际数据传输速率约是多少？我们一起来做这道题。根据相同公式可知，本题中的理论最大数据传入速率为八千赫兹，乘以 log 以 2 为底，一加信噪比的对数。信噪比采用分贝表示，题目所给信噪比为 30 分贝，可计算出信噪比为1000。代入上市可计算出结果约等于 80 K B P S。根据提议，该链路的实际数据传入速率是理论值的50%，计算结果为 40 K B P S。因此选项 c 正确。

再来看 2017 年的题35，请大家暂停播放视频，思考一下，给出你的答案。答案是选项d，大家都选对了吗？我们来看解题过程。设信号状态数，也就是可调制出的不同基本波形或码源数量为x，则每个码元可携带的比特数量为 log 以 2 为底。 x 的对数信道在无噪声情况下的极限数据传输速率用耐氏准则来计算，等于 2W 马元每秒等于 2W log 以 2 为底。 x 的对数比特每秒，信道在无噪声情况下的极限数据传输速率用相同公式来计算，等于 w 乘以log，以 2 为底， 1 + 1000 的对数单位为比特每秒，其中的 1000 是 30 分贝信噪比换算出来的比值，根据题译列出不等式解得 x 大于等于32。本节课到这里就结束了，在本节课中，我们介绍了与信道极限容量相关的两个公式，一个是耐试准则，另一个是相同公式，他们为提高信息传输速率提供了理论依据，希望同学们能够掌握并利用这两个公式进行一些简单的相关计算。同学们，我们下节课再见。